Carrés, identités remarquables

Description

Carré d’un nombre et identités remarquables… voilà deux termes mathématiques qui peuvent faire peur à certains et amuser d’autres. Pourtant, ces notions ne sont pas si compliquées : il suffit de comprendre leur sens avant de les mémoriser. Moi, j’ai toujours aimé les mathématiques analytiques. Je les trouvais simples, justement parce que j’avais compris leur logique. Et c’est ça, les mathématiques : une fois qu’on a compris, tout devient facile !

LE CARRÉ D’UN NOMBRE

Le carré d’un nombre est une idée que l’on peut visualiser. Quand on multiplie un nombre par lui-même, on obtient un carré parfait. Par exemple,

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16

et ainsi de suite.

D’ailleurs, la représentation géométrique du carré d’un nombre n’est autre qu’un carré : une figure plane dont la surface correspond au produit du nombre par lui-même. Cette approche concrète permet de relier les mathématiques à l’espace visuel, et elle devient encore plus claire grâce aux perles Montessori ou aux réglettes Cuisenaire, comme le suggère le document. Ces outils offrent à l’enfant une manière tangible d’appréhender la notion de carré avant de passer à l’abstraction.

LES IDENTITÉS REMARQUABLES

Une fois cette première étape maîtrisée, on peut s’intéresser au carré d’une somme, autrement dit à la formule (a + b)². C’est là qu’interviennent les fameuses identités remarquables, des formules mathématiques très utiles : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Derrière cette écriture se cache une réalité géométrique. Si l’on construit un grand carré dont le côté mesure a+b, on découvre qu’il est composé de deux petits carrés de côtés a et b, et de deux rectangles identiques dont les dimensions sont a et b. Ces deux rectangles expliquent la présence du terme 2ab dans la formule.

Cette manière concrète de visualiser les identités remarquables rend la compréhension bien plus naturelle : l’enfant voit, touche et déduit la relation mathématique avant de la retenir. Une fois ce principe compris, il est possible de généraliser à d’autres formules, comme

• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a + b)(a – b) = a² – b²

Ces trois identités remarquables sont à la base de nombreux raisonnements mathématiques.

Certes, on peut se demander à quoi tout cela sert si l’on ne souhaite pas devenir mathématicien. Pourtant, ces formules sont omniprésentes : elles se cachent dans les équations de la physique, les calculs d’ingénierie, les modèles économiques et bien d’autres domaines. Les identités remarquables ne sont donc pas de simples formules à apprendre par cœur ; elles constituent un langage universel qui permet de décrire le monde avec précision. Comprendre leur sens, c’est déjà faire un grand pas vers la beauté logique des mathématiques.

Avant d’aborder la notion d’identités remarquables, il est préférable d’avoir vu la notion de surfaces que vous pouvez découvrir dans la formation mathématiques 9-10 ans.

Pour plus de documents, rendez-vous sur le site Boutique Documents Montessori.